第六章：把两列重新配成合格的治疗关系

本章造假目标

一份 20 人的治疗表包含“轻症/重症”和“低剂量/高剂量”两列，当前四种组合各有 5 人。

当前结论：轻重症各 10 人，两种剂量也各 10 人；单列报表全部合格。两类患者接受高剂量的样本比例均为 50%50\%，样本优势比 OR^=1\widehat{\mathrm{OR}}=1。

验收目标：两列人数保持不变，同时满足

Pr⁡^(高剂量∣重症)≥0.75,Pr⁡^(高剂量∣轻症)≤0.25,OR^≥9.\widehat{\Pr}(\text{高剂量}\mid\text{重症})\ge0.75,\qquad \widehat{\Pr}(\text{高剂量}\mid\text{轻症})\le0.25,\qquad \widehat{\mathrm{OR}}\ge9.

可动范围：只能在两名患者之间交换剂量标签，不得改动病情、剂量总数和样本量。

本章任务：求出至少需要交换几对标签，构造通过验收的联合表，再计算这种配对在随机分配下出现的精确概率并追踪审计痕迹。

两列各自合格，整张表仍然不合格

当前人数表为

低剂量高剂量行合计
轻症55551010
重症55551010
列合计101010102020

若只检查病情列，会看到轻症与重症各占一半；只检查剂量列，也会看到低剂量与高剂量各占一半。逐行交叉以后，

Pr⁡^(高剂量∣重症)=510=0.50,\widehat{\Pr}(\text{高剂量}\mid\text{重症}) =\frac5{10}=0.50, Pr⁡^(高剂量∣轻症)=510=0.50.\widehat{\Pr}(\text{高剂量}\mid\text{轻症}) =\frac5{10}=0.50.

两类患者的剂量分配完全相同。单列报表缺失了“哪一种病情与哪一种剂量出现在同一行”的信息。单列比例称为边缘分布，四种逐行组合称为联合分布。

造假动作留下的影子

交换剂量标签不会改变任一列的取值集合，单列均值、比例和直方图因而保持原样。改动集中在患者身份与剂量的连接上。原始处方、录入时间、患者编号排序和版本差异能够恢复被交换的三对记录；审计时应把行身份视为数据的一部分。

固定边缘合计后，四格表只有一个自由参数

令

a=“轻症且低剂量”的人数.a=\text{“轻症且低剂量”的人数}.

轻症总数是 10，所以“轻症且高剂量”的人数必须为 10−a10-a。低剂量总数也是 10，所以“重症且低剂量”的人数必须为 10−a10-a。最后一个格子由重症总数确定为 aa。任何保持当前边缘合计的四格表都只能写成

低剂量高剂量合计轻症a10−a10重症10−aa10合计1010200≤a≤10.\begin{array}{c|cc|c} &\text{低剂量}&\text{高剂量}&\text{合计}\\ \hline \text{轻症}&a&10-a&10\\ \text{重症}&10-a&a&10\\ \hline \text{合计}&10&10&20 \end{array} \qquad 0\le a\le10.

四个内部格子看似需要四个数字，三个独立的边缘约束已经把自由度降到一个。当前表对应 a=5a=5；随机分配下，轻症低剂量格的期望人数也为 5。只要确定 aa，整张表便随之确定。

为什么四个边缘合计只有三个独立约束

两行合计之和与两列合计之和都等于总人数 20。给定两行合计和第一列合计以后，第二列合计已经由总人数决定。重复计算总人数不会再减少一个自由度。

一般的 r×cr\times c 列联表共有 rcrc 个格子。固定全部行合计和列合计时，r+cr+c 个边缘约束中有一个重复，因此表内自由度为

rc−(r+c−1)=(r−1)(c−1).rc-(r+c-1)=(r-1)(c-1).

本章的 2×22\times2 表恰好只有一个自由参数。

随机分配下每格的期望人数为什么是 5

从 20 人中任取一人。当前边缘比例给出

Pr⁡(重症)=1020=12,Pr⁡(高剂量)=1020=12.\Pr(\text{重症})=\frac{10}{20}=\frac12, \qquad \Pr(\text{高剂量})=\frac{10}{20}=\frac12.

若固定病情后把 10 个高剂量标签随机分给 20 人，分配机制没有利用病情信息。对随机抽取的一名患者，

Pr⁡(重症且高剂量)=Pr⁡(重症)Pr⁡(高剂量)=14.\Pr(\text{重症且高剂量}) = \Pr(\text{重症})\Pr(\text{高剂量}) =\frac14.

20 人乘以 1/41/4，每个格子的期望人数都是 5；有限样本中的实际格数会围绕这个期望波动。对一般随机变量，这条乘法关系定义独立性：

Pr⁡(X=x,Y=y)=Pr⁡(X=x)Pr⁡(Y=y).\Pr(X=x,Y=y)=\Pr(X=x)\Pr(Y=y).

独立还可以由条件概率识别。只要 Pr⁡(X=x)>0\Pr(X=x)>0，

Pr⁡(Y=y∣X=x)=Pr⁡(X=x,Y=y)Pr⁡(X=x).\Pr(Y=y\mid X=x) =\frac{\Pr(X=x,Y=y)}{\Pr(X=x)}.

若 XX 与 YY 独立，代入乘积关系可得

Pr⁡(Y=y∣X=x)=Pr⁡(Y=y).\Pr(Y=y\mid X=x)=\Pr(Y=y).

当前四个 5 使两类患者的样本剂量比例完全相同，与独立结构相容。单张列联表无法确认剂量是否真正随机分配，治疗机制仍需处方流程与随机化记录支持。

三项验收条件共同要求参数至少为 8

对参数为 aa 的表，

Pr⁡^(高剂量∣重症)=a10,\widehat{\Pr}(\text{高剂量}\mid\text{重症}) =\frac a{10}, Pr⁡^(高剂量∣轻症)=10−a10.\widehat{\Pr}(\text{高剂量}\mid\text{轻症}) =\frac{10-a}{10}.

前两个验收条件分别要求

a10≥0.75,10−a10≤0.25.\frac a{10}\ge0.75, \qquad \frac{10-a}{10}\le0.25.

两式都给出 a≥7.5a\ge7.5。

第三项使用优势比。重症患者接受高剂量的样本优势为

Pr⁡^(高∣重)1−Pr⁡^(高∣重)=a10−a.\frac{\widehat{\Pr}(\text{高}\mid\text{重})} {1-\widehat{\Pr}(\text{高}\mid\text{重})} =\frac{a}{10-a}.

轻症患者的相应优势为

10−aa.\frac{10-a}{a}.

两个优势相除得到

OR^=a/(10−a)(10−a)/a=a2(10−a)2.\widehat{\mathrm{OR}} =\frac{a/(10-a)}{(10-a)/a} =\frac{a^2}{(10-a)^2}.

当 0<a<100<a<10 时，要求 OR^≥9\widehat{\mathrm{OR}}\ge9 等价于

a10−a≥3,\frac a{10-a}\ge3, a≥7.5.a\ge7.5.

端点 a=10a=10 的两个非对角格均为零，通常称为完全分离；未经校正的样本优势比可按扩展实数记为 +∞+\infty，也满足验收方向。最小可行值仍由内部解确定。

三条验收线在这组对称边缘下恰好重合。人数必须为整数，所以最小可行值为

amin⁡=8.a_{\min}=8.

适用边界：优势与概率使用不同尺度

概率 pp 位于 00 与 11 之间，优势为 p/(1−p)p/(1-p)。概率从 0.20.2 变到 0.80.8，相应优势从 0.250.25 变到 44；二者之比为 1616。优势比容易表达乘法关联，不能直接读成“概率提高了 16 倍”。

三对标签交换达到最小可行表

当前 a=5a=5，目标至少为 88。选取一名“轻症、高剂量”患者和一名“重症、低剂量”患者，交换两人的剂量标签：

(轻,高)+(重,低)⟶(轻,低)+(重,高).(\text{轻},\text{高})+(\text{重},\text{低}) \longrightarrow (\text{轻},\text{低})+(\text{重},\text{高}).

一次交换使两个对角格各增加 1，两个非对角格各减少 1，因此使 aa 增加 1，同时保持四个边缘合计不变。从 55 到 88 至少需要三次这样的交换。三次以后得到

低剂量高剂量合计轻症8210重症2810合计101020.\begin{array}{c|cc|c} &\text{低剂量}&\text{高剂量}&\text{合计}\\ \hline \text{轻症}&8&2&10\\ \text{重症}&2&8&10\\ \hline \text{合计}&10&10&20. \end{array}

逐项验算：

Pr⁡^(高∣重)=810=0.80,\widehat{\Pr}(\text{高}\mid\text{重})=\frac8{10}=0.80, Pr⁡^(高∣轻)=210=0.20,\widehat{\Pr}(\text{高}\mid\text{轻})=\frac2{10}=0.20, OR^=8×82×2=16.\widehat{\mathrm{OR}}=\frac{8\times8}{2\times2}=16.

三项均通过。若只做两次交换，a=7a=7，两个条件比例为 0.700.70 和 0.300.30，优势比为 49/9≈5.4449/9\approx5.44，三项均失败。因此三对是这套操作规则下的最小改动。

固定边缘后可以精确计算配对尾概率

现在固定 10 名轻症、10 名重症以及 10 个低剂量、10 个高剂量标签，只把剂量标签随机分给 20 人。令 AA 表示轻症患者中获得低剂量的人数。全部等可能分配方式共有

(2010)\binom{20}{10}

种，因为只需从 20 人中选出 10 人放置低剂量标签。

若 A=kA=k，需要从 10 名轻症中选 kk 人接受低剂量，再从 10 名重症中选 10−k10-k 人接受低剂量，所以

Pr⁡(A=k)=(10k)(1010−k)(2010)=(10k)2(2010).\Pr(A=k) =\frac{\binom{10}{k}\binom{10}{10-k}}{\binom{20}{10}} =\frac{\binom{10}{k}^2}{\binom{20}{10}}.

这就是固定边缘下的超几何分布。若事先指定“重症更常接受高剂量”这一方向，得到 A≥8A\ge8 的概率为

Pr⁡(A≥8)=(108)2+(109)2+(1010)2(2010)≈0.0115.\Pr(A\ge8) =\frac{\binom{10}{8}^2+\binom{10}{9}^2+\binom{10}{10}^2} {\binom{20}{10}} \approx0.0115.

若两个关联方向都算同样极端，利用分布关于 5 对称，

ptwo-sided=2Pr⁡(A≥8)≈0.0230.p_{\text{two-sided}} =2\Pr(A\ge8) \approx0.0230.

这里能够直接乘以 2，依赖当前超几何分布关于 5 对称。一般四格表的 Fisher 双侧 p 值通常把零假设下概率不大于观察表概率的各张表加总，未必等于某个单侧尾概率的两倍。本表的双侧 Fisher 精确检验结果为 0.02300.0230；计算没有使用大样本正态或卡方近似，边缘合计给定以后，所有随机分配都能被有限计数。

方法来路：为什么小四格表需要“精确”计算

Fisher 在小样本实验设计中强调：格子人数很少时，连续近似可能粗糙，固定边缘后的随机分配却可以直接枚举。精确检验由此把“无关联”翻译成一组等可能配对，再计算至少同样极端的配对所占比例。它服务于小样本随机化判断，也让本章的标签交换能够逐步手算。

从四格表推广到一般联合分布

对离散随机变量 X,YX,Y，联合概率

pX,Y(x,y)=Pr⁡(X=x,Y=y)p_{X,Y}(x,y)=\Pr(X=x,Y=y)

描述 XX 与 YY 同时取特定值的概率。把不关心的变量加总，得到边缘概率：

pX(x)=∑ypX,Y(x,y).p_X(x)=\sum_y p_{X,Y}(x,y).

再固定 X=xX=x，得到条件概率：

pY∣X(y∣x)=pX,Y(x,y)pX(x).p_{Y\mid X}(y\mid x) =\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_X(x)}.

于是同一张联合表支持两种互补操作：边缘化丢弃配对信息，条件化保留某个切片内的配对规律。

连续变量把求和换成积分。若联合密度为 fX,Y(x,y)f_{X,Y}(x,y)，

fX(x)=∫−∞∞fX,Y(x,y) dy,f_X(x) =\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dy, fY∣X(y∣x)=fX,Y(x,y)fX(x)(fX(x)>0).f_{Y\mid X}(y\mid x) =\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} \qquad \bigl(f_X(x)>0\bigr).

这些公式没有增加新的概率语法：离散格子变成连续平面，向一条轴加总仍然产生边缘，固定一条切片仍然产生条件分布。

相关系数无法概括所有联合关系

第七章将用相关系数检查连续列的线性配对。本章先保留一个警告。令 XX 在

{−2,−1,1,2}\{-2,-1,1,2\}

上等概率，并令 Y=X2Y=X^2。此时 YY 完全由 XX 决定，知道 XX 就能准确知道 YY。然而

E(X)=0,E(X3)=0,\mathbb{E}(X)=0,\qquad \mathbb{E}(X^3)=0, Cov⁡(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=E(X3)=0.\operatorname{Cov}(X,Y) =\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) =\mathbb{E}(X^3) =0.

进一步计算可得

Var⁡(X)=52,Var⁡(Y)=94.\operatorname{Var}(X)=\frac52, \qquad \operatorname{Var}(Y)=\frac94.

两个方差都大于零，所以

Corr⁡(X,Y)=Cov⁡(X,Y)Var⁡(X)Var⁡(Y)=0.\operatorname{Corr}(X,Y) =\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}} =0.

线性相关为零，确定性的抛物线关系依然存在。四格表已经表明“边缘合格”不能推出联合合格；这个例子进一步表明“相关为零”也不能推出独立。下一章将精确说明相关系数测量联合结构的哪一部分。

把合格表放回审计链

本章的造假目标已经完成：三个成对交换把 aa 从 5 推到 8，保持轻重症各 10 人和两种剂量各 10 人；条件比例变为 0.800.80 与 0.200.20，优势比变为 16。单列报表看不到任何变化。

联合检查会读出另一层信息。最终表在固定边缘随机分配模型下的单侧尾概率约为 0.01150.0115，说明如此强的配对很少由未使用病情信息的随机分配产生。这个结果为“病情与剂量有关”提供统计证据，却无法证明三对标签来自真实处方。要判断记录身份，仍需对照处方时间、患者编号、录入版本以及其他临床变量。概率模型负责发现结构，审计证据负责解释结构如何形成。

本章知识链

  1. 边缘分布保存单列比例，联合分布保存同一行的搭配；条件概率描述给定一列后的另一列分布。

  2. 固定本章四个边缘合计后，四格表只有一个自由参数 aa；随机分配下 E(A)=5\mathbb{E}(A)=5。

  3. 三项验收条件共同要求 a≥8a\ge8，三对剂量标签交换达到最小可行表，并保持全部边缘合计不变。

  4. 固定边缘后的随机分配服从超几何分布；Fisher 精确检验给出单侧尾概率 0.01150.0115、双侧 p 值 0.02300.0230。

  5. 关联证据只能说明配对结构偏离独立，记录身份仍需外部审计；相关为零也无法推出独立。

思考与练习

  1. 对参数表

    Y=0Y=1X=0a12−aX=18−aa\begin{array}{c|cc} &Y=0&Y=1\\ \hline X=0&a&12-a\\ X=1&8-a&a \end{array}

    求四个边缘合计以及 aa 的可行范围，并说明固定这些边缘以后为什么只剩一个自由参数。

  2. 在本章 20 人数据中计算 a=6,7,8,9a=6,7,8,9 时的两个条件概率与优势比，观察三者怎样随 aa 变化。

  3. 证明任何保持本章四个边缘合计的单次剂量标签交换，至多使 aa 改变 1。由此证明三次交换确为最少。

  4. 用组合数复算 Pr⁡(A=8)\Pr(A=8)、Pr⁡(A=9)\Pr(A=9) 和 Pr⁡(A=10)\Pr(A=10)，再求单侧与双侧尾概率。

  5. 若样本扩大为 40 人，四个边缘合计均为 20，写出固定边缘下 AA 的概率质量函数。

  6. 对 X∈{−2,−1,1,2}X\in\{-2,-1,1,2\}、Y=X2Y=X^2，列出联合概率表并验证 Pr⁡(Y=1∣X=1)=1\Pr(Y=1\mid X=1)=1，说明它与独立条件冲突。

  7. 为病情、剂量、医院和日期四列设计审计清单，分别列出边缘检查、两两交叉检查和条件切片检查。

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