第十七章：把不合格浓度写进合格区

第十七章：把不合格浓度写进合格区

本章造假目标

某批样品采用批准的校准曲线 $s=2+5c$。三次原始信号为 $(26.5,27.0,27.5)$，逆预测浓度为 $5.0$；放行规格要求上机时浓度不低于 $5.8$。允许的操作只有把报告中的最终浓度改成 $6.0$，不得改动原始信号、校准标准品、空白、质控、测量顺序、保存时间和仪器文件。本章先让结果卡越过规格线，再沿测量链逐项计算：这一个浓度单位的改写需要哪些物理与统计证据才能成立，又会在哪些记录之间留下无法闭合的缺口。

最终浓度过线，原始信号留下五个单位的缺口

仪器保存的三次原始信号给出

$$\bar s_\star=27.0, \qquad s_\star=0.5.$$

批准的换算关系为 $s=2+5c$，所以样品浓度的直接逆预测是

$$\hat c_\star =\frac{\bar s_\star-2}{5} =5.0.$$

把最终字段改成 $6.0$ 后，结果卡满足 $6.0\ge 5.8$。同一条校准曲线却要求浓度 $6.0$ 对应

$$s_{\mathrm{claim}} =2+5\times6 =32.$$

原始信号均值仍为 $27$，报告值向前追溯时少了 $5$ 个信号单位。这个差异还不能直接归因于造假：校准误差、基质效应、保存过程和仪器记忆都可能改变读数。严谨的核查应把每一种解释写成模型，再判断它需要什么证据、作用方向是否正确、量级是否足够。

测量从明确被测量开始。这里的规格写的是“上机时浓度”，时间点和样品状态都是定义的一部分。若采样时浓度、上机时浓度和报告浓度混用，数值即使相同，也可能代表不同的量。

一个最简测量模型可写成

$$X_{\mathrm{obs}} =X_{\mathrm{true}}+B+\varepsilon, \qquad \mathbb{E}(\varepsilon)=0, \quad \operatorname{Var}(\varepsilon)=\sigma^2,$$

其中 $B$ 是模型所描述的稳定偏差，$\varepsilon$ 是重复条件下的随机波动。由此可以区分几组经常混用的术语：

• 测量准确度描述测得值与被测量真值的接近程度，通常作为定性概念使用；

• 测量正确度关注大量重复测量的均值与参考值之间的接近程度，系统偏差会削弱正确度；

• 测量精密度关注规定条件下重复示值之间的接近程度，可用标准差等离散量描述；

• 重复性把条件限制在同一程序、人员、仪器、地点和较短时间内；

• 再现性允许地点、操作者或测量系统等条件发生规定的变化。

本章的三次读数只能初步说明短期重复性。它们共同围绕 $27$ 波动，无法自行证明校准正确、基质影响为零或报告浓度为真。接下来先检查把信号换成浓度的校准环节。

造假动作留下的影子

修改末端字段没有生成新的测量信息。报告值 $6.0$ 向前要求信号 $32$，仪器文件只记录了均值 $27$。本章后续各节都尝试用一种正常测量机制解释这五个信号单位，并检查该机制留下的辅助记录。

线性校准把两个测量尺度连接起来

仪器直接产生响应 $s$，待测属性是浓度 $c$。已知浓度的标准品把两种尺度连接起来。本批批准的五个标准点为

标准浓度 $c_j$	0	2	4	6	8
平均信号 $s_j$	2.2	11.8	22.0	31.8	42.2

在预先确认的线性工作区内，先采用响应方向的回归模型

$$s_j=a+bc_j+\varepsilon_j, \qquad \mathbb{E}(\varepsilon_j\mid c_j)=0.$$

教学计算暂把标准浓度视为固定且误差可忽略，并把五个平均信号视为精度相同的观测。最小二乘选择 $a,b$ 使

$$Q(a,b)=\sum_{j=1}^{n}(s_j-a-bc_j)^2$$

最小。对两个参数求偏导并令其为零，得到

$$\sum_{j=1}^{n}(s_j-\hat a-\hat b c_j)=0, \qquad \sum_{j=1}^{n}c_j(s_j-\hat a-\hat b c_j)=0.$$

记

$$S_{cc}=\sum_{j=1}^{n}(c_j-\bar c)^2, \qquad S_{cs}=\sum_{j=1}^{n}(c_j-\bar c)(s_j-\bar s),$$

解正规方程便得到

$$\hat b=\frac{S_{cs}}{S_{cc}}, \qquad \hat a=\bar s-\hat b\bar c.$$

本例中 $\bar c=4$、$\bar s=22$，并且

$$S_{cc}=40, \qquad S_{cs}=200.$$

因此

$$\hat b=5, \qquad \hat a=2.$$

斜率的单位是“信号单位/浓度单位”。它说明浓度每增加 1，平均响应增加 5；截距描述零浓度附近的平均基线。五个残差为

$$(0.2,-0.2,0,-0.2,0.2),$$

残差平方和为 $0.16$。若把五个点当作五个独立、同方差的有效观测，工作残差方差为

$$\hat\sigma_{\mathrm{cal}}^2 =\frac{0.16}{5-2} =0.0533.$$

未知样品的换算方向与拟合方向相反：

$$\hat c_\star =\frac{\bar s_\star-\hat a}{\hat b}.$$

“逆预测”正是由此得名。它要求斜率在数值及不确定度上与零保持足够距离，未知响应位于已验证的工作区内，校准标准和未知样品还要服从相容的测量机制。若标准浓度本身有不可忽略的误差，普通最小二乘会低估浓度轴的不确定性，需要误差变量模型或相应的计量方法。若不同浓度处的响应方差不同，则应建模方差函数并考虑加权回归。

一条残差很小的直线仍可能掩盖系统弯曲。要判断当前 $0.16$ 究竟来自重复波动还是线性模型失配，标准品必须保留重复测量。

重复标准品把纯误差与曲线失配分开

设第 $i$ 个浓度水平有 $m_i$ 次重复信号 $s_{ij}$。一共有 $g$ 个不同浓度水平，总读数为

$$N=\sum_{i=1}^{g}m_i$$

条校准读数。线性回归的残差平方和为

$$SS_{\mathrm R} =\sum_{i=1}^{g}\sum_{j=1}^{m_i} \bigl(s_{ij}-\hat a-\hat b c_i\bigr)^2.$$

在每个浓度水平内加减该水平的均值 $\bar s_i$，交叉项因 $\sum_j(s_{ij}-\bar s_i)=0$ 消失，于是得到精确分解

$$SS_{\mathrm R} =\underbrace{\sum_{i=1}^{g}\sum_{j=1}^{m_i} (s_{ij}-\bar s_i)^2}_{SS_{\mathrm{PE}}} +\underbrace{\sum_{i=1}^{g}m_i (\bar s_i-\hat a-\hat b c_i)^2}_{SS_{\mathrm{LOF}}}.$$

$SS_{\mathrm{PE}}$ 是同一浓度水平内的纯重复误差；$SS_{\mathrm{LOF}}$ 是各水平均值偏离拟合直线的失配。若线性模型有 $p=2$ 个参数，自由度也相应分解为

$$N-p=(N-g)+(g-p).$$

在独立、正态和同方差误差条件下，可以使用

$$F_{\mathrm{LOF}} =\frac{SS_{\mathrm{LOF}}/(g-p)}{SS_{\mathrm{PE}}/(N-g)}$$

比较曲线失配与仪器自身的重复波动。较大的 $F_{\mathrm{LOF}}$ 表明直线偏差已经超过纯误差所能解释的范围。这里检验的是所选工作区内的均值函数；未拒绝线性模型也不保证区间外可以外推。

本章表格只保存了五个标准浓度的平均信号，水平内的原始重复读数已经缺失。因此，正文算出的 $0.0533$ 只能作为后续演示的工作残差方差，无法从中恢复 $SS_{\mathrm{PE}}$，也无法完成失拟检验。这说明汇总表会丢掉模型诊断所需的信息。

若高浓度读数更分散，简单的同方差 $F$ 参照也会失效。实验设计应在各水平保留足够重复，查看残差随拟合值的变化，并在需要时使用方差稳定变换、加权最小二乘或直接建立均值—方差模型。完成模型检查以后，下一步才是传播校准和未知样重复测量的不确定性。

逆预测把校准误差和未知样误差同时带入浓度

令

$$g(s,a,b)=\frac{s-a}{b}.$$

在 $(s,a,b)=(27,2,5)$ 处，$g=5$，一阶导数组成梯度

$$\nabla g =\left( \frac{1}{b}, -\frac{1}{b}, -\frac{s-a}{b^2} \right)^\top = \begin{pmatrix} 0.2\\ -0.2\\ -1 \end{pmatrix}.$$

Delta 方法用函数在当前估计附近的切平面传播协方差。若随机向量

$$\theta=(\bar s_\star,\hat a,\hat b)^\top$$

的协方差矩阵为 $U_\theta$，则

$$\operatorname{Var}\{g(\theta)\} \approx (\nabla g)^\top U_\theta\nabla g.$$

简单线性回归中，给定标准浓度并采用同方差模型，截距和斜率的协方差矩阵为

$$\widehat{\operatorname{Cov}} \begin{pmatrix} \hat a\\ \hat b \end{pmatrix} =\hat\sigma_{\mathrm{cal}}^2 \begin{pmatrix} \dfrac{1}{n}+\dfrac{\bar c^2}{S_{cc}} &-\dfrac{\bar c}{S_{cc}}\ \[ 7pt] -\dfrac{\bar c}{S_{cc}} &\dfrac{1}{S_{cc}} \end{pmatrix}.$$

代入 $n=5$、$\bar c=4$、$S_{cc}=40$ 和工作方差 $0.0533$，得到

$$\widehat{\operatorname{Cov}} \begin{pmatrix} \hat a\\ \hat b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.0320&-0.00533\\ -0.00533&0.00133 \end{pmatrix}.$$

三次未知样重复测量给出

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\bar s_\star) =\frac{0.5^2}{3} =0.0833.$$

若未知样实验与校准实验相互独立，矩阵计算还可以化成更容易解释的形式：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat c_\star) \approx \underbrace{\frac{s_\star^2}{r\hat b^2}}_{\text{未知样重复误差}} + \underbrace{\frac{\hat\sigma_{\mathrm{cal}}^2}{\hat b^2} \left[ \frac{1}{n} +\frac{(\hat c_\star-\bar c)^2}{S_{cc}} \right]}_{\text{校准参数误差}},$$

其中 $r=3$ 是未知样的重复次数。第二项中的距离 $|\hat c_\star-\bar c|$ 说明：逆预测越靠近校准区间中心，参数不确定性通常越小；向区间边缘移动或继续外推，误差会增大。本例的两个方差贡献为

$$\frac{0.5^2}{3\times5^2}=0.003333,$$ $$\frac{0.0533}{5^2} \left(\frac15+\frac{(5-4)^2}{40}\right) =0.000480.$$

所以

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat c_\star) \approx0.003813, \qquad u(\hat c_\star)\approx0.0618.$$

这里用 $u$ 表示合成标准不确定度的教学近似。把浓度从 $5.0$ 改成 $6.0$，移动量约为

$$\frac{6.0-5.0}{0.0618}\approx16.2$$

个标准不确定度；从 $5.0$ 到规格线 $5.8$ 也接近 13 个。这个量级比较只依据已经列出的来源；标准品配制误差、批间变化和模型失配仍需另行评定。

Delta 方法是局部线性近似。当斜率估计接近零、斜率不确定性较大或比值分布明显偏斜时，区间可能高度不对称，甚至出现无界情况；此时可采用比值参数的专门区间、参数自助法或蒙特卡洛传播。当前斜率为 5，局部近似足以显示一个浓度单位的缺口远大于所列随机波动。规格判定还需要把这种不确定性写进决策规则。

合格判定需要同时声明两类错误风险

设规格下限为

$$L=5.8,$$

局部测量模型近似为

$$\hat C\mid C=c \sim N(c,u^2), \qquad u=0.0618.$$

若规则仅规定“$\hat C\ge L$ 就放行”，真实浓度低于规格的样品仍可能因测量波动而过线。给定真实浓度 $c<L$，这种错误放行概率为

$$\Pr_c(\hat C\ge L) =1-\Phi\left(\frac{L-c}{u}\right).$$

当 $c=5.0$ 时，该概率约为 $1.1\times10^{-38}$；当 $c=5.7$ 时，它约为 $0.0527$。同一个放行规则对不同真实浓度具有不同风险，规格边界附近尤其敏感。

若希望在正态近似和已知 $u$ 下，把所有 $c<L$ 的错误放行概率上界控制在 $\alpha$ 以内，可以把验收界限移到规格区间内部：

$$A=L+z_{1-\alpha}u.$$

采用规则 $\hat C\ge A$ 时，$c$ 从规格外侧趋近 $L$，错误放行概率趋近 $\alpha$；更低浓度的概率还会下降。真实浓度恰为 $L$ 时已经符合规格，此时 $\alpha$ 表示边界样品的放行概率。取单侧 $\alpha=0.05$，有

$$A =5.8+1.64485\times0.0618 \approx5.902.$$

这个差值 $A-L$ 常称为保护带。等价地，可以计算单侧置信下限

$$\hat C-z_{0.95}u$$

并要求它不低于 $L$。对于真实测得的 $\hat C=5.0$，该下限约为

$$5.0-1.64485\times0.0618 \approx4.898,$$

这个下限低于 $5.8$，无法支持放行。手工写入的 $6.0$ 虽会通过数值规则，却没有与之对应的抽样分布和原始测量证据。

保护带会提高合格产品被拒收的概率。给定真实浓度 $c>L$，拒收概率为

$$\Pr_c(\hat C<A) =\Phi\left(\frac{A-c}{u}\right).$$

因此，消费者风险、生产者风险、测量能力和经济损失需要一起设计。$u$ 若随浓度或批次变化，验收界限也应随有效不确定度调整，不能长期套用一个固定小数。

方法来路：为什么测量不确定度会进入合格判定？

测量结果靠近规格线时，同一个观测值可能来自规格两侧的真实量。计量学中的不确定度传播回答“结果有多不确定”，合格评定进一步回答“依据这个不确定结果作决定会承担多大风险”。JCGM 100 系统整理了测量不确定度的表达，JCGM 106 则把不确定度、验收界限和消费者—生产者风险连接起来。保护带由此成为可计算的决策设计，而非随意增加的小数余量。

合格判定处理规格附近的分类风险，检测限处理空白与低水平信号能否区分。两者都使用尾概率，研究问题和阈值含义却不同。

检测限来自空白与低浓度样品的概率重叠

本批空白的三次信号为 $(1.8,2.0,2.2)$，所以

$$\bar s_0=2.0, \qquad s_0=0.2.$$

先考虑一个理想化模型。空白信号服从

$$S\mid c=0\sim N(\mu_0,\sigma_0^2).$$

若把空白误报为“检出”的概率控制为 $\alpha$，响应尺度上的判决阈值为

$$L_C=\mu_0+z_{1-\alpha}\sigma_0.$$

这条线控制的是空白分布右尾。还需要定义一个真实低浓度，使其信号超过 $L_C$ 的概率达到 $1-\beta$。若该低浓度与空白具有相同标准差 $\sigma$，其平均响应 $\mu_D$ 满足

$$\Pr(S>L_C\mid\mu=\mu_D)=1-\beta,$$

从而

$$\mu_D =\mu_0+\bigl(z_{1-\alpha}+z_{1-\beta}\bigr)\sigma.$$

判决阈值控制假阳性，检出能力还要控制假阴性。真实应用中，空白和低浓度样品的方差可能不同，$\mu_0$、$\sigma_0$ 也是估计量，阈值还会受到重复次数、批次和校准不确定性的影响。

实验室工作指引中常见一组简化口径：

$$LOD_s=\bar s_0+3s_0=2.6,$$ $$LOQ_s=\bar s_0+10s_0=4.0.$$

沿校准曲线换到浓度尺度，得到

$$LOD_c=\frac{2.6-2}{5}=0.12, \qquad LOQ_c=\frac{4.0-2}{5}=0.40.$$

这里的 3 和 10 是教学性约定。正式的检出限应声明 $\alpha$、$\beta$、空白估计方式和方差模型；定量限还应声明允许的相对标准差、偏差或总误差目标。“十倍空白标准差”只是一种惯用规则，无法替代测量性能要求。

本章未知样的平均信号为 27，远离空白中心 2；估计浓度 5.0 也远高于两个低端阈值。检测限无法把 5.0 与 6.0 之间的差解释成“低端看不清”。

方法来路：Currie 为什么要给检测限规定错误概率？

低信号区同时存在两种错误：空白偶然偏高会被误报为检出，真实低浓度样品也可能落回空白区。Currie 在 1968 年把判决限、检出限和定量能力放入统一统计框架，使“看得见”对应到可声明的错误概率。均值加若干标准差的公式只有在指定分布、方差和决策条件下才获得明确含义。

检测阈值以下的记录仍然含有信息。下一节把这种“只知道位于某个区间”的观测写进似然。

低于阈值的结果应作为删失数据进入似然

设第 $i$ 个样品的潜在响应服从

$$S_i\sim N(\mu_i,\sigma^2),$$

仪器在 $S_i<L_s$ 时只报告“低于 $L_s$”。对于一条被删失的记录，观测到的事件是 $S_i<L_s$，它对似然的贡献为

$$\Pr(S_i<L_s\mid\mu_i,\sigma) =\Phi\left(\frac{L_s-\mu_i}{\sigma}\right).$$

若某条读数高于阈值并保留了精确值 $s_i$，其贡献则是正态密度

$$\frac{1}{\sigma} \phi\left(\frac{s_i-\mu_i}{\sigma}\right).$$

把检出记录集合记为 $D$，删失记录集合记为 $C$，独立观测的联合似然可写成

$$\mathcal L(\theta) =\prod_{i\in D} \frac{1}{\sigma} \phi\left(\frac{s_i-\mu_i}{\sigma}\right) \prod_{i\in C} \Phi\left(\frac{L_s-\mu_i}{\sigma}\right),$$

其中 $\theta$ 包含均值模型和方差参数。这个表达保留了每条低值位于阈值左侧的信息。

把“低于 $L_s$”统一替换成 0、$L_s/2$ 或 $L_s$，会虚构阈值以下的精确位置，并可能改变均值、方差、回归斜率和相关结构。删失还需与缺失区分：删失记录知道数值所在的范围；完全缺失的记录可能连范围都未知。若阈值随批次变化，应把每条记录自己的 $L_{s,i}$ 写入似然。

本章三次原始信号都完整保留，没有删失。这个模型仍揭示一条审计原则：仪器输出的“$<L_s$”是带方向的区间信息，后续报告不应凭空增加有效数字。即使信号高于阈值，数字化过程也只会提供有限分辨率。

量化把连续信号映射到离散网格

设仪器信号步长为 $\Delta_s=0.5$。理想的就近量化可以写成确定性映射

$$Y =\Delta_s\operatorname{round}\left(\frac{S}{\Delta_s}\right).$$

若输出值为 $Y=y$，连续潜在信号只被定位在一个量化格内：

$$y-\frac{\Delta_s}{2} \le S< y+\frac{\Delta_s}{2}.$$

当 $S$ 的分布函数为 $F_S$ 时，这条离散观测的精确概率为

$$\Pr(Y=y) =F_S\left(y+\frac{\Delta_s}{2}\right) -F_S\left(y-\frac{\Delta_s}{2}\right).$$

常把量化误差 $Q=Y-S$ 近似为

$$Q\sim U\left(-\frac{\Delta_s}{2}, \frac{\Delta_s}{2}\right), \qquad \operatorname{Var}(Q)=\frac{\Delta_s^2}{12}.$$

均匀模型需要额外条件，例如潜在信号相对于网格的相位足够分散、没有饱和或阈值截断。对固定的 $S$，$Q$ 由量化规则确定，并不自动是一项独立随机噪声。精确建模时应优先使用量化区间概率。

在线性校准下，浓度网格宽度为

$$\Delta_c=\frac{\Delta_s}{\hat b} =\frac{0.5}{5} =0.1.$$

一次就近量化最多移动半个网格，即

$$\frac{\Delta_c}{2}=0.05$$

个浓度单位。本章的浓度缺口为 1.0，相当于 20 个最大舍入偏差。量化由此无法把 5.0 推成 6.0。反过来，如果报告保留的位数远多于仪器分辨率和测量不确定度所支持的位数，尾数结构也会暴露处理规则不一致。

量化限制的是同一时点的数字分辨率。若有人把报告值解释为采样时浓度，还需要显式建立浓度随保存时间变化的模型。

一阶衰减要求先说清浓度属于哪个时点

许多降解过程在适用范围内近似满足

$$\frac{\mathrm d C(t)}{\mathrm dt} =-\lambda C(t), \qquad \lambda>0.$$

分离变量并积分，得到

$$C(t)=C_0e^{-\lambda t}.$$

半衰期 $t_{1/2}$ 满足 $C(t_{1/2})=C_0/2$，所以

$$t_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda}, \qquad C(t)=C_0\,2^{-t/t_{1/2}}.$$

本物质的已知半衰期为 12 小时，保存日志记录从采样到上机共 2 小时。若把测得的 $5.0$ 解释为两小时后的浓度，反推采样时浓度为

$$\hat C_0 =5.0\times2^{2/12} \approx5.61.$$

从上机值 $5.0$ 回推到 $5.8$ 所需的时间为

$$t_{5.8} =12\log_2\left(\frac{5.8}{5.0}\right) \approx2.57\text{小时},$$

回推到 $6.0$ 则需要

$$t_{6.0} =12\log_2\left(\frac{6.0}{5.0}\right) \approx3.16\text{小时}.$$

日志中的 2 小时不足以支持这两个回推值。更根本的限制来自规格定义：本章要求的是“上机时浓度”，采样时回推值回答了另一个问题，不能代替上机时点的浓度。

真实稳定性研究还应估计 $\lambda$ 的不确定性，检查温度、光照、容器和前处理条件，并判断一阶模型在所考察时间段内是否成立。时间戳误差与半衰期误差会通过

$$C_0=C(t)\exp(\lambda t)$$

共同传播。保存修正只有在方法预先验证、条件记录完整且规格允许换算时才能进入报告。

时间过程能够改变样品本身，样品基质也能改变仪器对同一浓度的响应。后一种影响需要标准品之外的质控材料。

基质效应需要加标与参考材料共同识别

溶剂标准中的线性校准默认未知样品与标准品具有相同响应机制。样品中的盐、蛋白、共洗脱物或黏度变化可能引入基质效应。一个局部模型是

$$S=a+d_m+b r_m c+\varepsilon,$$

其中 $d_m$ 表示加性基质信号，$r_m$ 表示相对于标准溶液的灵敏度比例。标准溶液对应 $d_m=0$、$r_m=1$。

假设同批基质另有一次加标记录：未加标样品的平均信号为 $27.0$，加入 $\Delta c=2.0$ 后的平均信号为 $36.8$。局部加标回收率为

$$R =\frac{36.8-27.0}{5\times2.0} =0.98.$$

在上述局部线性模型中，加标前后作差会消去 $a$、$d_m$ 和原有浓度：

$$S_{\mathrm{spike}}-S_{\mathrm{unspiked}} =b r_m\Delta c,$$

因此单次加标主要识别局部灵敏度比例 $r_m$。$98\%$ 的回收率说明增量响应接近标准曲线斜率，却没有单独识别加性偏差 $d_m$。

若忽略加性偏差，并坚持真实浓度为 $6.0$，信号均值 $27$ 要求

$$r_m =\frac{27-2}{5\times6} =\frac56 \approx0.833.$$

这与加标所显示的 $0.98$ 相距较大。若沿用 $r_m=0.98$，要让真实浓度 $6.0$ 产生信号 $27$，则必须有

$$d_m =27-2-5\times0.98\times6 =-4.4.$$

这个假设随即提出一个可核查的新要求：同批基质必须存在约 $-4.4$ 个信号单位的加性抑制。基质空白、多个加标水平、标准加入曲线、认证参考材料和独立方法可以继续约束 $d_m$ 与 $r_m$。单次回收率无法同时识别这些量。

基质校正也不能在看见不合格结果后临时引入。校正公式、适用基质、加标水平、验收范围和不确定度应在方法验证中预先规定。缺少这些记录时，把 $5.0$ 改成 $6.0$ 仍然只是末端改写。

基质效应来自样品组成，携带污染来自测量顺序。二者都能改变响应，所需的对照记录和作用方向各不相同。

携带污染把前一个样品写进当前读数

扣除校准基线 $a=2$ 后，令真实的当前样品响应为 $Z_t=bc_t$。一个简单的一阶携带模型为

$$S_t =a+Z_t+\gamma(S_{t-1}-a)+\varepsilon_t, \qquad 0<\gamma<1.$$

这里 $\gamma$ 表示前一读数的基线校正部分有多少残留到当前测量。若一个基线校正信号为 40 的高标准品后紧接空白，而空白的基线校正读数为 1，可以得到粗略估计

$$\hat\gamma=\frac{1}{40}=0.025.$$

本批未知样上机前安排了冲洗空白，前一项满足 $S_{t-1}-a\approx0$，所以预期携带项近似为

$$\hat\gamma(S_{t-1}-a)\approx0.$$

作用方向同样重要。若当前真实浓度为 $6.0$，本体信号应为 32；正的携带项只会使观测信号进一步升高。要在该模型中把期望信号从 32 拉低到 27，需要

$$\gamma(S_{t-1}-a)=-5.$$

代入 $\gamma=0.025$，前一项的基线校正信号必须为 $-200$，既违背正携带假设，也远离本仪器的正常响应范围。若前一项的基线校正信号为 $+200$，它会贡献 $+5$，使低浓度样品看起来更高，仍然无法隐藏本章的信号缺口。

携带率可能随浓度、清洗程序和样品基质变化，单个高标—空白对只能提供局部估计。可靠检查需要穿插空白、不同顺序的重复样、足够的冲洗验证和完整时间戳。这里直接承接第十六章的结论：一旦前后顺序进入生成模型，任意删除、重排或单改一行都会破坏相邻记录之间的约束。

校准、重复、量化、稳定性、基质和携带项至此都已进入模型。下一步要把它们放入同一不确定度预算，避免漏项，也避免把同一波动重复计算。

不确定度预算既要完整，也要避免重复计数

一般测量结果可以写成若干输入量的函数

$$Y=f(X_1,\ldots,X_k).$$

在一阶近似下，令灵敏度系数

$$J_i=\frac{\partial f}{\partial X_i},$$

合成方差为

$$u_c^2(Y) \approx \sum_{i=1}^{k}J_i^2u^2(X_i) +2\sum_{i<j}J_iJ_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j).$$

协方差项说明共同标准品、共同校准批次或共同环境条件会使来源相关。把所有来源直接平方相加，隐含了零协方差假设。

本章简化计算已经量化了两个主要分量：

来源	浓度尺度的标准不确定度	计算与边界
未知样短期重复	$0.0577$	$0.5/(5\sqrt3)$；仅有 3 次重复
校准参数	$0.0219$	$\sqrt{0.000480}$；沿用工作残差方差
信号量化	$0.0167$	来自 $0.5/(5\sqrt{36})$
尚未量化的其他来源	尚未给出	标准品、基质、时间与批间；需证书、验证和质控数据

前两项合成得到

$$\sqrt{0.0577^2+0.0219^2} \approx0.0618.$$

表中的量化项通常已经包含在三次实际读数的重复标准差中；若再次加入，就会重复计数。只有当重复性分量来自分辨率更高的独立实验，或预算模型明确把模拟噪声与量化过程分开时，才适合另列该项。类似地，校准残差若已包含短期仪器波动，也要检查它与未知样重复项所代表的实验层级，不能把名字不同的同一来源机械相加。

不确定度的 A 类和 B 类评定按信息来源区分：A 类来自观测序列的统计分析，B 类来自证书、分辨率、既有研究或科学判断。这个分类没有把误差简单分成“随机”和“系统”。已知且可修正的偏差应先按规定修正，再评定修正量的不确定度；未修正的潜在偏差则需要明确纳入模型或敏感性分析。

若暂取覆盖因子 $k=2$，简化扩展不确定度为

$$U=ku\approx2\times0.0618=0.124.$$

由于未知样只有三次重复、校准工作方差的自由度也很低，$k=2$ 不能自动解释为精确的 $95\%$ 覆盖区间。正式报告可使用有效自由度、适当的 $t$ 因子或蒙特卡洛传播，并声明覆盖概率。对于含斜率分母、非线性稳定性修正或有界参数的模型，蒙特卡洛方法还能直接显示偏斜和尾部。

不确定度预算描述现有测量结果的可信范围，不会把估计中心推向希望得到的规格一侧。完整预算还会标出当前缺少哪些证书、重复实验和验证材料，使末端改写更容易沿来源追查。下一节把这些来源按数据流排列成可复算的审计链。

把报告值放回可复算的测量审计链

最终浓度的证据路径可以写成

$$\begin{aligned} \text{被测量定义} &\longrightarrow \text{采样、保存与前处理} \longrightarrow \text{原始信号与测量顺序}\\ &\longrightarrow \text{空白、质控与基质验证} \longrightarrow \text{校准与逆预测}\\ &\longrightarrow \text{不确定度与判定规则} \longrightarrow \text{取整和报告}. \end{aligned}$$

本章的反算结果汇总如下。

核查对象	本批计算	对报告 $6.0$ 的约束
校准逆预测	原始均值 $27\mapsto5.0$	$6.0$ 要求同曲线下的信号为 $32$
工作标准不确定度	$u(\hat c)\approx0.0618$	改写量约为 $16.2u$
合格评定	$95\%$ 单侧验收界限约 $5.902$	原估计的单侧下限约为 $4.898$
检测与定量低端	教学口径为 $0.12$ 与 $0.40$	样品远离空白重叠区
量化分辨率	浓度网格 $0.1$	一次舍入最多移动 $0.05$
保存衰减	两小时回推为 $5.61$	规格针对上机时点；回推 $6.0$ 需约 $3.16$ 小时
基质加标	局部回收率为 $98\%$	若声称真实值为 6，还需约 $-4.4$ 的加性基质信号
携带污染	前项为空白，残留近零	正携带只会抬高响应，无法隐藏五单位缺口

这些核查共享原始信号、校准和质控信息，不能当作八次相互独立的统计检验。它们的价值在于约束不同环节：有的检查量级，有的检查方向，有的要求额外对照，有的确认被测量定义。多条约束同时闭合，测量结果才形成可追溯的证据链。

复核时至少应保留：

1. 被测量定义、规格版本、判定规则和保护带依据；

2. 样品标识、采样时间、保存条件、前处理步骤和人员记录；

3. 原始仪器文件、未取整读数、审计轨迹和软件版本；

4. 标准品证书、配制记录、各浓度重复信号和校准模型诊断；

5. 空白、质控、加标、参考材料、冲洗空白和上机顺序；

6. 不确定度预算、相关来源、覆盖说明及所有修正规则；

7. 从原始信号到最终报告的代码、参数、取整位数和版本差异。

统计模型可以定位报告值需要哪些额外条件才能成立，原始记录和版本链负责确认这些条件是否真实发生。下一章把视野从单个测量链扩展到分层和检测批次：即使每个读数都未经改写，改变各层构成或让工艺与批次完全重合，也能使总体比较失去原来的含义。

本章知识链

1. 被测量包含对象、属性、状态和时点；本章规格针对上机时浓度，采样时回推值回答另一个测量问题。

2. 原始信号均值 $27$ 经批准曲线逆预测为 $5.0$；报告 $6.0$ 向前要求信号 $32$，留下五个信号单位的缺口。

3. 线性校准由最小二乘连接浓度与响应；斜率、截距、工作区、标准品误差和方差结构共同决定逆预测是否有效。

4. 重复标准品使回归残差分解为纯误差与曲线失配；只保存各水平平均值无法完成这项诊断。

5. Delta 方法同时传播未知样重复误差和校准参数误差；本章两个工作方差贡献合成得到 $u(\hat c)\approx0.0618$。

6. 逆预测越远离校准中心，参数不确定性通常越大；斜率接近零时，局部正态和对称区间可能失效。

7. 合格评定把测量不确定度转化为消费者风险和生产者风险；把规格外侧的错误放行概率上界设为 $5\%$ 时，保护带验收界限约为 $5.902$。

8. 判决阈值控制空白误报，检出限还要控制真实低浓度的漏报；定量限应对应明确的精度或总误差目标。

9. 阈值以下的记录是删失信息，其似然贡献为尾概率；用固定小数替换会虚构阈值下的精确位置。

10. 量化是连续信号到离散区间的映射；均匀量化误差是一种有条件的近似，本例舍入最多移动 $0.05$ 个浓度单位。

11. 一阶衰减把半衰期和时间戳写进浓度；模型修正还要服从规格定义、稳定性验证和完整保存记录。

12. 单次加标回收主要识别局部增量灵敏度，无法单独排除加性基质偏差；多水平加标和参考材料承担不同诊断任务。

13. 正携带污染会把前一项的响应加到当前读数；本批前项为空白，且携带方向无法把应有信号 32 压到 27。

14. 不确定度预算必须保留协方差并防止重复计数；完整审计链还要保存原始文件、校准重复、质控、顺序、规则和版本。

思考与练习

1. 用五个标准点复算 $\bar c$、$\bar s$、$S_{cc}$、$S_{cs}$、$\hat a$、$\hat b$、五个残差和工作残差方差。说明斜率与截距各自的单位，并判断未知样响应 27 是否属于内插。

2. 设五个浓度水平各有三次重复。写出 $SS_{\mathrm{PE}}$、$SS_{\mathrm{LOF}}$ 及其自由度，证明二者之和等于回归残差平方和。若只保留五个水平均值，指出哪些量无法恢复。

3. 从 $g(s,a,b)=(s-a)/b$ 的梯度和简单线性回归协方差矩阵出发，推导正文中的逆预测方差简式。复算重复误差贡献 $0.003333$、校准贡献 $0.000480$ 和标准不确定度 $0.0618$。

4. 采用 $u=0.0618$ 和规格下限 $L=5.8$，计算真实浓度分别为 $5.0$、$5.7$、$5.8$、$5.9$ 时，简单规则 $\hat C\ge5.8$ 的放行概率。再求 $\alpha=0.01$ 的保护带验收界限。

5. 在 $S\mid c=0\sim N(2,0.2^2)$ 且低浓度标准差相同的模型下，取 $\alpha=\beta=0.05$，计算判决阈值 $L_C$ 和检出平均响应 $\mu_D$，再沿 $s=2+5c$ 换到浓度尺度。比较它们与 $3s_0$ 教学口径。

6. 三条响应记录为 $1.7$、$<2.0$、$2.4$。在独立 $N(\mu,\sigma^2)$ 模型下写出联合似然；再说明把中间一条替换成 0、1.0 或 2.0 会分别添加什么未经观测的假设。

7. 推导就近量化观测 $Y=y$ 的区间概率。若 $\Delta_s=1.0$，计算浓度网格、最大舍入误差，以及三次独立量化误差均匀近似下平均浓度的标准不确定度。

8. 从微分方程 $\mathrm dC/\mathrm dt=-\lambda C$ 推导半衰期表达式。复算从 5.0 回推到 5.8 和 6.0 所需的时间，并解释为什么这两个数都不能直接替代上机时浓度。

9. 对模型 $S=a+d_m+br_mc+\varepsilon$，复算加标回收率 $0.98$。若真实浓度声称为 6，分别在 $d_m=0$ 和 $r_m=0.98$ 两个条件下求另一个基质参数；说明单次加标遗漏了哪类信息。

10. 沿用 $\hat\gamma=0.025$。若前一样品的基线校正信号为 20，计算其对当前信号和逆预测浓度的影响；再求贡献 $+5$ 所需的前一信号，并说明正携带对本章五单位信号缺口的作用方向。

11. 检查正文不确定度表。若短期重复标准差来自已量化的实际读数，解释再次加入独立量化项为什么会重复计数；若校准斜率与截距协方差被强行设为零，重新计算会漏掉哪一个交叉项。

12. 为本章设计一份可复算的数据包，至少包括标准品重复、空白、质控、加标、顺序、时间戳、原始文件和判定规则。再增加两个检测批次，说明怎样安排样品才能把方法差异与批次差异分开，为下一章的分层与批次问题作准备。

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