第二章：把波动压进稳定性规格

第二章：把波动压进稳定性规格

本章造假目标

某工艺的五个整数测量值为

$$100,\ 104,\ 108,\ 112,\ 116.$$

当前结论：样本均值为 $108$，样本方差为 $40$。

验收目标：样本均值保持 $108$，样本方差不超过 $10$；当前数据只通过均值线。历史资料给出未经改进过程的总体方差基准 $40$，后文先把它当作固定值。

可动范围：允许修改测量值，样本量保持为五，最终报告仍使用整数。

本章任务：至少构造两张通过稳定性规格的数据表，解释它们压低方差的方式，并判断样本方差 $10$ 在历史过程下有多反常。

当前报告只通过了中心线

第一章已经从重复抽样推出样本方差

$$s^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2.$$

本章沿用这个定义处理稳定性规格。当前五个读数的总和为 $540$，所以

$$\bar x=\frac{540}{5}=108.$$

它们到均值的偏差是

$$-8,\ -4,\ 0,\ 4,\ 8.$$

平方偏差和为

$$SS=64+16+0+16+64=160,$$

样本方差为

$$s^2=\frac{160}{4}=40.$$

验收要求可以写成两条约束：

$$\bar x^{\mathrm{new}}=108, \qquad (s^{\mathrm{new}})^2\le10.$$

均值已经合格，方差还要缩小到原来的四分之一。若直接删除最大值 $116$，均值会降到 $106$；同时删除两端 $100,116$ 可以保住均值，剩下的

$$104,\ 108,\ 112$$

只有三个观测，样本方差仍为

$$\frac{(-4)^2+0^2+4^2}{2}=16.$$

删除既违反样本量约束，也没有达到方差线。需要一种能够保持总和、同时缩短所有偏差的操作。

保持均值等于保持偏差之和为零

令

$$d_i=x_i-108.$$

五个偏差组成向量

$$\mathbf d=(-8,-4,0,4,8)^{\mathsf T}.$$

因为 $108$ 是均值，偏差之和为

$$\sum_{i=1}^5d_i=0.$$

只要修改后的偏差 $d_i^{\mathrm{new}}$ 仍满足零和，五个新观测的总和就仍是 $5\times108$，均值也仍是 $108$。另一方面，平方偏差和可以写成向量长度

$$SS=\|\mathbf d\|^2 =\mathbf d^{\mathsf T}\mathbf d.$$

五维向量中，满足偏差和为零的向量构成一个四维子空间。本章任务因此有了一个几何版本：在这个子空间内，把向量的平方长度从 $160$ 压到不超过 $40$。

最直接的办法是保持方向，只缩短长度。设

$$\mathbf d^{\mathrm{new}}=c\mathbf d, \qquad 0<c<1.$$

逐个观测写回原尺度，就是

$$x_i^{\mathrm{new}} =108+c(x_i-108).$$

常数 $108$ 固定中心，系数 $c$ 只控制每个观测离开中心的距离；这两个部分分别对应均值约束和方差约束。

均值为何保持，方差为何按平方缩小

先计算新均值：

$$\begin{aligned} \bar x^{\mathrm{new}} &=\frac15\sum_{i=1}^5 \left[108+c(x_i-108)\right]\\ &=108+\frac c5\sum_{i=1}^5(x_i-108)\\ &=108. \end{aligned}$$

最后一步使用偏差和为零。新偏差满足

$$x_i^{\mathrm{new}}-108 =c(x_i-108) =cd_i.$$

因此

$$\begin{aligned} SS^{\mathrm{new}} &=\sum_i(cd_i)^2\\ &=c^2\sum_i d_i^2\\ &=c^2SS. \end{aligned}$$

样本量没有变化，方差同样满足

$$(s^{\mathrm{new}})^2=c^2s^2.$$

因此，标准差按 $c$ 缩小，方差按 $c^2$ 缩小。距离缩短一半以后，每个平方距离只剩四分之一。

要把方差从 $40$ 压到 $10$，令

$$c^2\times40=10.$$

取保持排序方向的正根：

$$c=\sqrt{\frac{10}{40}}=\frac12.$$

把 $c=1/2$ 代入每个观测，得到第一张合格表：

$$\begin{aligned} 100&\longmapsto108+\tfrac12(100-108)=104,\\ 104&\longmapsto106,\\ 108&\longmapsto108,\\ 112&\longmapsto110,\\ 116&\longmapsto112. \end{aligned}$$

修改后的数据为

$$104,\ 106,\ 108,\ 110,\ 112.$$

偏差变成

$$-4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4,$$

所以

$$SS^{\mathrm{new}}=40, \qquad (s^{\mathrm{new}})^2=10.$$

均值线与方差线同时通过。

完美收缩为什么也会成为证据

第一张合格表的每个新偏差都恰好等于旧偏差的一半：

$$\frac{d_i^{\mathrm{new}}}{d_i}=\frac12 \qquad(d_i\ne0).$$

把旧偏差作为横坐标、新偏差作为纵坐标，五个点会精确落在

$$y=\frac12x$$

上。真实工艺改进通常还会带来新的原料波动、测量误差和个体差异。若新旧记录可以逐行对应，所有偏差仍保持完全相同的比例就需要额外解释。线性收缩完成方差目标时，也把“所有点接受同一代数变换”的痕迹写进了数据。

可以用残差量化这条痕迹。对任意候选比例 $c$，定义

$$r_i=d_i^{\mathrm{new}}-cd_i.$$

在 $c=1/2$ 时，本章五个残差全部等于零：

$$\sum_i r_i^2=0.$$

这里的零残差并未证明伪造；它说明修改表与“统一缩放”模型完美吻合。核查者还要询问新旧记录能否逐行匹配、仪器分辨率是否支持这种关系、工艺机制为何没有引入额外噪声。

造假动作留下的影子

方差从 $40$ 精确变成 $10$，全部偏差又精确乘以 $1/2$。单看最终表，只能看到数据更稳定；一旦把修改前后的同一行配对，五个点落在一条无残差直线上。方差检查由一个最终数值扩展为“新旧数据之间是否存在过度精确的变换关系”。

另一条路：把尾部压到固定边界

线性收缩改动全部观测。若只想处理远端值，可以选择下界 $L$ 和上界 $U$，把超出边界的观测推回边界：

$$x_i^{\mathrm{win}} =\begin{cases} L,&x_i<L,\\ x_i,&L\le x_i\le U,\\ U,&x_i>U. \end{cases}$$

这项操作通常称为温莎化（Winsorization），也称缩尾。本例的原始偏差成 $\pm8,\pm4,0$ 对称排列，因此取关于 $108$ 对称的边界

$$L=105, \qquad U=111.$$

原数据

$$100,\ 104,\ 108,\ 112,\ 116$$

变成

$$105,\ 105,\ 108,\ 111,\ 111.$$

这次边界替换使新偏差继续成对抵消，新均值仍是 $108$。偏差为

$$-3,\ -3,\ 0,\ 3,\ 3,$$

所以

$$SS^{\mathrm{win}}=36, \qquad (s^{\mathrm{win}})^2=9.$$

第二张表也通过两条规格线。它留下的痕迹与线性收缩不同：四个观测被改到 $105$ 和 $111$ 两个边界，原来的相邻距离随之改变。对一般样本，仅让 $L$ 与 $U$ 关于原均值对称并不能保证新均值不变，还要检查两侧被替换观测的数量和距离。

四种方案可以放在一起比较：

方案	最终数据	$n$	均值	方差	是否达标
原始	$100,104,108,112,116$	$5$	$108$	$40$	否
删除两端	$104,108,112$	$3$	$108$	$16$	否
线性收缩	$104,106,108,110,112$	$5$	$108$	$10$	是
温莎化	$105,105,108,111,111$	$5$	$108$	$9$	是

相同的均值与近似相同的方差可以来自完全不同的操作。线性收缩保留相对次序和比例，温莎化制造边界重复值，删除改变样本身份。检查方差造假需要同时查看最终方差、数据形状和处理记录。

压低一组方差会怎样推动第一章的 t 值

同一份稳定性报告还包含一组旧工艺对照数据：

$$C:96,\ 100,\ 104,\ 108,\ 112.$$

对照组均值为 $104$、样本方差为 $40$。原目标组均值为 $108$、方差也为 $40$，所以均值差

$$D=108-104=4.$$

两组样本量都为五。修改前，

$$\SE_{\mathrm{old}}(D) =\sqrt{\frac{40}{5}+\frac{40}{5}} =4,$$ $$t_{\mathrm{old}}=\frac44=1, \qquad p\approx0.347.$$

线性收缩后，目标组方差降到 $10$，均值差仍为 $4$：

$$\SE_{\mathrm{new}}(D) =\sqrt{\frac{10}{5}+\frac{40}{5}} =\sqrt{10} \approx3.162,$$ $$t_{\mathrm{new}} =\frac4{\sqrt{10}} \approx1.265.$$

Welch 自由度约为 $5.88$，双侧 p 值约为 $0.254$。方差压缩确实提高了 t 值，五对五试验仍未达到 $0.05$。方差变小可以改善标准化证据，改善幅度同时受对照组方差和样本量限制。

温莎化方案的目标组方差为 $9$，对应 $t\approx1.278$、双侧 $p\approx0.251$，与线性收缩非常接近。t 检验几乎分不出两张表的操作来源，边界堆积与新旧配对关系却能区分它们。

方差 10 在历史过程下有多罕见

历史批次给出总体方差基准

$$\sigma_0^2=40.$$

即使过程没有变化，五个随机观测的样本方差也不会每次恰好等于 $40$。要判断 $s^2=10$ 是否反常，需要知道样本方差在重复抽样中的分布。

若观测独立且来自正态总体，先把每个观测标准化：

$$Z_i=\frac{X_i-\mu}{\sigma_0}.$$

$Z_i$ 是独立标准正态变量，它们的平方和服从卡方分布。样本均值由数据估计后，一个方向被中心约束消耗，剩下 $n-1$ 个正交波动方向。用 $S^2$ 表示抽样前仍会变化的样本方差，用 $s^2$ 表示本批数据算出的观察值，则

$$Q=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim\chi^2_{n-1}.$$

本章 $n=5$、修改后 $s^2=10$，所以

$$Q_{\mathrm{obs}} =\frac{4\times10}{40}=1.$$

在自由度为 $4$ 的卡方分布中，

$$\Pr(\chi_4^2\le1) \approx0.090.$$

若真实方差仍是 $40$，自然抽到 $s^2\le10$ 的概率约为 $9\%$。一次低方差值得追问；若事先采用 $5\%$ 的单侧判断线，单独这一批还没有越线。

同一结论也能由总体方差的 $95\%$ 置信区间看见。自由度为 $4$ 时，

$$\chi^2_{0.025,4}\approx0.484, \qquad \chi^2_{0.975,4}\approx11.143.$$

用修改后的 $s^2=10$ 构造区间：

$$\left[ \frac{4\times10}{11.143}, \frac{4\times10}{0.484} \right] \approx[3.59,\ 82.6].$$

区间仍然覆盖历史方差 $40$。五个观测提供的方差信息很少，样本方差区间天然很宽。

本节的卡方计算把 $\sigma_0^2=40$ 当作固定的待检验值。若 $40$ 也是从有限个历史批次估计而来，它自身带有抽样误差；此时应保留历史样本量和原始批次，并使用两方差比较或层次模型把两边的不确定性一起计算。

方法来路：为什么平方和会进入方差检验

正态误差经标准化后变成独立标准正态变量；它们的平方和恰好形成卡方分布。这个结果给样本方差提供了可计算的重复抽样参照，使“方差看起来小”能够转成尾部概率与置信区间。代价是明确的正态条件，偏态和厚尾会改变平方和的参照分布。

一个批次不够时，独立重复怎样累积证据

单批得到 $s^2\le10$ 的概率约为 $0.090$。若三个彼此独立、每批都含五个观测的批次全部出现 $s^2\le10$，而真实过程方差始终是 $40$，概率会降到

$$0.090^3\approx0.00073.$$

重复出现的低方差比单次低方差更难用偶然解释。这项乘法依赖三批相互独立、批次定义固定且没有只挑选低方差批次。若先观察十个批次，再只报告其中最整齐的三个，参照概率必须把选择过程一起计算。

单张最终表很难区分自然波动与修改。多个按时间保存的完整批次可以检查方差是否突然下降、下降时点是否对应真实工艺变更，以及不同批次的低方差是否过度一致。

Levene 思路怎样把方差问题改写成均值问题

卡方参照高度依赖正态分布。若要较少依赖正态条件地比较两组离散程度，可以先把每个观测到本组中心的绝对距离当成新数据。对照组以均值 $104$ 为中心，距离为

$$8,\ 4,\ 0,\ 4,\ 8,$$

距离均值为 $4.8$、距离样本方差为 $11.2$。线性收缩后的目标组以 $108$ 为中心，距离为

$$4,\ 2,\ 0,\ 2,\ 4,$$

距离均值为 $2.4$、距离样本方差为 $2.8$。

“两组方差是否相同”现在变成“绝对距离的均值是否相同”。两组各五个距离，Welch 标准误为

$$\SE_Z =\sqrt{\frac{11.2}{5}+\frac{2.8}{5}} =\sqrt{2.8} \approx1.673.$$

距离均值差的统计量为

$$t_Z=\frac{2.4-4.8}{1.673} \approx-1.434.$$

近似自由度为 $5.88$，双侧 p 值约为 $0.202$。目标组的距离均值只有对照组一半，五对五样本仍不足以给出清楚的组间方差证据。两种计算都表明，肉眼可见的方差比在小样本中仍可能带有很大不确定性。

Levene 检验把组均值作为距离中心，再用方差分析比较多个组的距离均值；Brown–Forsythe 版本使用组中位数作为中心，对偏态和远端值更稳健。这里的两组例子沿用 Welch 均值比较来完成手算，经典多组 Levene 检验则把全部绝对距离送入单因素方差分析。方法的共同构造都是先把离散程度变成一列可比较的距离。

适用边界：检验结果不能替代方差来源

卡方参照与绝对距离比较只量化数据与某个方差假设的距离。真实工艺改进、仪器分辨率变化、数据截断、选择批次和直接修改都可能造成低方差。统计检验负责发现不协调，工艺日志、校准记录和完整批次负责解释来源。

把两张合格表重新放回同一任务

线性收缩表

$$104,106,108,110,112$$

和温莎化表

$$105,105,108,111,111$$

都保持均值 $108$，方差分别为 $10$ 和 $9$。验收表会把它们同时归入“稳定”。它们的生成痕迹却完全不同：前者与原数据存在无残差的比例关系，后者在两个边界产生重复值。删除两端则保住均值却破坏样本量，方差仍未达标。

历史方差 $40$ 把最终数值放回抽样参照。单批 $s^2\le10$ 的概率约为 $9\%$，三个独立批次全部如此的概率约为 $0.073\%$。绝对距离比较又表明，五对五样本很难独立确认方差差异。于是方差核查形成三层：先复算最终方差，再识别操作纹理，最后借助完整历史批次积累概率证据。

均值与方差都合格以后，下一道检查转向数据形状。两张表即使拥有相近方差，边界堆积、间距规则和尾部仍然不同；中心与尺度无法决定完整分布。

本章知识链

1. 固定均值等价于保持偏差和为零；样本方差规格 $s^2\le10$ 等价于 $SS\le40$。

2. 统一收缩 $d_i^{\mathrm{new}}=cd_i$ 保持均值，并把方差乘以 $c^2$；$c=1/2$ 恰好得到方差 $10$。

3. 温莎化把边界外观测替换为边界值；本例依靠原数据的对称性保持均值，并在 $105$、$111$ 处留下重复值。

4. 压低目标组方差会减小 $\operatorname{SE}(D)$，对照组方差与小样本仍限制 t 值能够增加多少。

5. 正态条件给出卡方参照；独立重复累积证据，Levene 比较绝对距离的均值。

思考与练习

1. 对样本 $2,4,6,8,10$ 围绕均值取 $c=0.8$ 做线性收缩，计算新数据、新均值与新方差，并验证方差比例为 $c^2$。

2. 本章目标若改为 $s^2\le5$，求线性收缩系数 $c$。判断整数读数约束会造成什么新困难。

3. 把边界改为 $L=104,U=112$，计算温莎化数据、均值和方差。说明它为何没有通过方差线。

4. 复算线性收缩后与对照组比较的 Welch 自由度和双侧 p 值。

5. 在历史方差为 $40$ 的正态过程下，计算 $n=5$ 时观察到 $s^2\le5$ 的概率，并与本章的 $9\%$ 比较。

6. 若四个独立批次全部得到 $s^2\le10$，按本章参照计算联合概率。列出独立性或选择过程可能失败的两种情形。

7. 复算两组绝对距离的均值与样本方差，并解释距离 t 检验为何仍未显著。

8. 分别列出线性收缩、温莎化和删除两端在原始记录、排序、重复值、样本量与历史批次中留下的痕迹。

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